|
TAJUK 5
|
ANALISIS DAN INTERPRETASI
DATA
|
- SINOPSIS
Tajuk ini memperkenalkan bidang statistik yang asas. Perwakilkan data
seperti carta dan graf, seterusnya membaca dan mengintepretasi maklumat dari
perwakilan data dibincangkan. Menganalisis dan mentafsir data seperti
mengenalpasti ukuran kecenderungan memusat, serakan atau jenis taburan turut
dibincangkan. Selain itu tajuk ini juga memberi pendedahan tentang idea
kebarangkalaian.
- HASIL PEMBELAJARAN
§ Membaca
dan mengintepretasi maklumat data kuantitatif.
§ Melaksana
statistik asas, seperti mengumpul, menganalisis, dan mentafsir data bernombor.
§ Meneroka
peristiwa berkaitan dengan peluang (idea kebarangkalian).
- Kerangka Tajuk-tajuk
5.1 MEMBACA DAN
MENGINTEPRETASI MAKLUMAT DATA KUANTITATIF YANG
TELAH DIWAKILKAN DALAM BENTUK JADUAL, CARTA ATAU GRAF
Data boleh
diwakilkan dalam bentuk jadual, carta atau graf. Walau bagaimanapun sebelum
boleh membaca dan mengintepretasi maklumat data kuantitatif kefahaman tentang
jenis data dan jenis perwakilan data adalah penting.
5.1.1 Pembahagian Data
Data kuantitatif boleh dibahagi kepada
empat jenis skala pengukuran. Skala boleh ditakrifkan sebagai angka yang
digunakan untuk mengkelas atau menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu
data dikelaskan dalam skala berikut.
i.
nominal
ii. ordinal
iii. sela
iv. nisbah
i.
Data Nominal
Nominal ialah skala yang dianggap
paling mudah dan mempunyai ketepatan yang paling rendah. Skala ini
mengkategorikan pembolehubah berdasarkan persamaan dan seterusnya memberikan
nama kepada pembolehubah berkenaan. Jantina, ras dan warna adalah contoh data
nominal. Misalnya, jantina diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagi
perempuan. Nilai nombor 1 bukan bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik
dari 2. Nilai nombor 1 dan 2 hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi
lelaki dan perempuan. Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2
mewakili kaum Cina, 3 mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor
hanya perwakilan sesuatu kumpulan data. Begitu juga bagi warna dimana kita
boleh menyatakan 1 sebagai merah, 2 sebagai kuning, 3 sebagai hijau dan
sebagainya.
Ciri-ciri utama skala nominal adalah:
- Setiap
ahli hanya dimiliki oleh satu kategori sahaja, misalnya, individu yang dikelaskan ke dalam kategori lelaki tidak
boleh menjadi ahli kategori jantina lain.
- Nombor
yang mewakili setiap kategori tidak mempunyai nilai pemeringkatan, tetapi
dianggap sebagai nama kategori sahaja.
- Pengkelasan
data asal bagi data nominal bersifat satu kepada satu.
ii.
Data Ordinal
Ordinal ialah skala yang memberikan
nilai pemeringkatan atau pangkatan. Data ordinal boleh disusun sama ada
daripada yang terendah kepada nilai yang tertinggi atau daripada yang lemah
kepada yang cemerlang. Nombor atau kategori yang diguna menggambarkan ukuran
asal pembolehubah mengikut susunan daripada kecil kepada yang besar atau dari
kategori yang kurang baik kepada kategori yang lebih baik. Kedudukan, gred dan
jawatan adalah contoh data ordinal. Murid yang mendapat nombor 1 dalam kelas
tentunya lebih baik dari murid yang mendapat nombor 2, 3 dan seterusnya. Gred A
juga lebih baik dari gred B, C dan D. Sarjan lebih berpangkat berbanding
koperal dan lanskoperal.
Ciri-ciri utama data ordinal adalah :
- Kategori
yang digunakan bagi mengkelaskan data ordinal adalah saling eksklusif.
- Ukuran
yang digunakan, memperlihatkan pemeringkatan secara logik.
- Ukuran mempunyai pemberat dimana setiap kategori
mempunyai pemberat yang kurang atau lebih berbanding kategori lain.
Markah, ketinggian, berat, gred, dan
jawatan adalah contoh data ordinal. Markah 80% tentunya lebih baik dari 50%.
160 cm sudah pasti lebih tinggi dari 100 cm. Objek yang beratnya 60 kg tentunya
lebih berat dari 25 kg.
iii.
Data Sela
Skala sela mempunyai ciri
pemeringkatan dan juga mempunyai perbezaan bagi setiap unit sela yang sama nilai. Skala ini berupaya
menunjukkan perbezaan antara beberapa kategori dan ia boleh menunjukkan
kesamaan dalam unit ukuran yang digunakan. Contoh ukuran berskala sela ialah
ukuran suhu. Dalam hal ini, perbezaan suhu antara 25°C dengan 35°C adalah sama
dengan perbezaan suhu antara 5°C dengan 15°C, iaitu perbezaan 10 darjah. Nilai
perbezaan ini sama kerana ia dikira dari titik asalan iaitu 0°C. Nilai sifar
(0) merupakan suatu nilai yang arbitrari, yang tidak menggambarkan nilai
kuantiti kosong, iaitu skala sela tidak mempunyai nilai mutlak.
Misalnya, suhu 0°C merupakan nilai permulaan sistem pengukuran suhu dalam °C.
Suhu 0°C di sini bukan bermakna tidak ada kepanasan. Begitu juga dengan markah
pencapaian. Katakan pelajar A mendapat markah 90 dan pelajar B mendapat markah
75. Bezanya adalah 15 markah. Jika pelajar C mendapat 60 markah dan pelajar D
mendapat 45 markah, bezanya juga adalah 15 markah. Kita boleh kata perbezaan
pelajar A dengan B dan perbezaan C dengan D adalah sama. Kita tidak boleh
katakan kepandaian pelajar A dua kali ganda pelajar D walau pun pelajar A
mendapat 90 markah dan pelajar D mendapat 45 markah. Sekiranya seorang pelajar
memperolehi 0 markah, tidak bererti dia tiada kepandaian kerana nilai sifar (0)
ini bukan mutlak dan hanya sebagai permulaan ukuran sahaja.
Ciri-ciri skala sela adalah :
i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan
data sela adalah saling eksklusif.
ii. Ukuran yang diguna menggambarkan susunan
pemeringkatan secara logik.
iii. Ukuran
yang diguna mempunyai pemberat, iaitu sesuatu ukuran sama ada lebih kecil atau
lebih besar daripada yang lain.
iv. Ukuran
dalam skala sela bernilai arbitrari (tidak mutlak). Nilai sifar (0) juga adalah
arbitrari.
v.
Perbezaan satu unit ukuran mempunyai nilai yang sama bagi semua perbezaan
ukuran.
iv.
Data Nisbah
Skala nisbah ialah skala yang
mempunyai semua ciri skala sela dan juga nilai mutlak. Dalam skala nisbah nilai
sifar (0) adalah kosong dan mutlak. Jarak, berat dan wang adalah contoh data
berskala nisbah. Jarak 6 km adalah dua kali jarak 3 km. Nilai wang RM10 adalah
dua kali ganda nilai wang RM5. Nilai sifar (0) bagi jarak 0 km dan RM0 adalah
benar-benar tiada jarak dan tiada wang.
|
||||
 |
||||
|
|
Apakah jenis data bagi makanan kegemaran?
Apakah jenis data bagi saiz kasut?
Apakah jenis data bagi kedudukan dalam kelas?
|
|
Apakah yang dimaksudkan dengan skala Likert?
Berikan contoh yang sesuai bagi data yang menggunakan skala
Likert.
|
5.1.2 Perwakilan Data
Perwakilan data boleh dibuat
dalam bentuk carta dan graf. Antaranya ialah piktograf, carta palang,
histogram, graf garis, carta pai dan ogif. Lihat contoh- contoh berikut.
|
Jualan Setem Mengikut Bulan
|
|||
|
Januari
|
   |
||
|
Februari
|
 |
||
|
Mac
|
  |
||
 |
|||
|
Rajah 5.1 Piktograf
|
|||
|
||||
|
||||
|
|
Anda dikehendaki mengumpul beberapa keratan perwakilan data dari bahan bercetak seperti akhbar,
majalah, buletin dan sebagainya dan buat ulasan mengenai perwakilan tersebut.
Perwakilan data mestilah pelbagai seperti piktograf, carta
palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif.
|
|
Dapatkan
maklumat tentang bagaimana cara mewakilkan data menggunakan stem and leaf, box-plot dan scattergram.
|
Data dalam Jadual 5.1 berikut menunjukkan data pemilikan kereta
bagi 26 keluarga. Maksud data dan interpretasinya dijelaskan dalam para
berikut.
|
|
Bilangan kereta
|
Gundal
|
Kekerapan
|
|
0
|
 |
3
|
|
1
|
 |
8
|
|
2
|
 |
12
|
|
3
|
 |
1
|
|
4
|
|
2
|
Pembacaan data
Data dibaca
secara terus mengikut bilangan kereta dan kekerapan yang diberi. Tiga keluarga
tidak memiliki kereta. Lapan keluarga memiliki sebuah kereta dan dua belas
keluarga memiliki dua buah kereta. Manakala hanya satu keluarga memiliki sebuah
kereta dan dua keluarga memiliki empat buah kereta.
Intepretasi data
Data diterjemah
mengikut tujuan. Kebanyakan keluarga memiliki satu dan dua buah kereta.
Sejumlah 12 keluarga memiliki dua buah kereta dan 8 keluarga memiliki sebuah
kereta. Terdapat 3 keluarga yang kurang mampu untuk memiliki kereta manakala
ada 3 keluarga lain mampu memiliki tiga dan empat buah kereta.
Data dalam Jadual 5.1 boleh diwakilkan
dalam bentuk carta palang.
Jadual 5.2 berikut adalah contoh data terkumpul yang menunjukkan umur
bagi 200 orang yang berada dalam satu dewan orang ramai. Perwakilan data dalam
bentuk histogram ditunjukkan dalam Rajah 5.4.
|
|
Gundal
|
Kekerapan
|
|
  |
8
|
|
|
10-19
|
 |
12
|
|
20-29
|
 |
24
|
|
30-39
|
|
43
|
|
40-49
|
 |
41
|
|
50-59
|
|
27
|
|
60-69
|
|
23
|
|
70-79
|
|
18
|
|
80-89
|
|
3
|
|
90-99
|
|
1
|
  |
|
Nyatakan
perbezaan antara carta palang dan histogram?
Bincangkan
ciri-ciri carta palang dan histogram.
Berikan
2 contoh data yang sesuai dipaparkan menggunakan carta palang dan histogram.
|
|
Jadual berikut menunjukkan data
rancangan TV yang diminati oleh sebilangan pelajar SMK Jalan Merab. Jumlah
pelajar sekolah ini adalah 840 orang.
a.
Berapakah
saiz sampel yang digunakan?
b.
Dalam
peratus terhampir, berapa peratuskah Rancangan A diminati oleh pelajar
sekolah ini?
c.
Berapa
ramaikah pelajar sekolah ini berkemungkinan meminati rancangan A?
d.
Sekiranya
Jamal kurang setuju dengan hasil dapatan ini dan dia membuat kajian ke atas
35 orang pelajar perempuan dalam kelas Pendidikan Jasmani beliau. Adakah
sampel kajian Jamal rawak? Jelaskan.
|
5.2 MENGUMPUL,
MENGANALISIS DAN MENTAFSIR DATA BERNOMBOR
5.2.1 Mengumpul Data
Data asal atau data mentah boleh digunakan terus atau dikumpulkan terlebih
dahulu untuk diwakilkan dalam bentuk yang dikehendaki. Data yang digunakan terus atau tidak perlu dikumpulkan.
Lazimnya dalam kuantiti yang kecil atau mempunyai julat yang kecil. Misalnya
data mengenai cita-cita pelajar dalam sesuatu kelas. Perwakilan data boleh
digambarkan secara terus samada melalui piktograf, carta palang atau apa saja perwakilan
yang sesuai (telah dibincangkan dalam 5.1).
Bagi kuantiti data yang banyak atau besar julatnya, maka adalah
lebih baik dikumpulkan dahulu data tersebut dalam sela mengikut saiz kelasnya.
Perwakilan data boleh digambarkan melalui
histogram atau apa saja perwakilan yang sesuai.
Misalnya data mengenai umur orang yang datang ke dewan orang
ramai. Data ini elok dikumpulkan dahulu. Jika umur 1-5 tahun dikumpulkan, maka
saiz kelasnya adalah 5. Secara umum data boleh dikumpul dalam kelas umur
mengikut jadual berikut:
|
Umur (Tahun)
|
Gundalan
|
Kekerapan
|
|
1
- 5
|
3
|
|
|
6
- 10
|
8
|
|
|
11
-15
|
12
|
|
|
16
- 20
|
1
|
|
|
2
|
Secara statistik, bilangan kelas dan saiz kelas dapat ditentukan
dengan lebih baik melalui rumus berikut.
Bilangan kelas, K ≈ 1 + 3.3 log(n)
K =
bilangan kelas yang sesuai, n =
jumlah data
Saiz kelas = 
|
Kirakan berapa bilangan kelas (K) dan saiz kelas yang sesuai
bagi data di atas?
|
5.2.2 Menganalisis dan Mentafsir Data
Selain menterjemah
perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukuran kecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan
median. Sebaran data pula boleh dilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan
varians.
i. Ukuran Kecenderungan Memusat
Secara
umumnya, min adalah purata, median adalah nilai di tengah-tengah kumpulan data
yang tersusun. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi atau paling
kerap berlaku.
Mencari Nilai Min, Mod dan Median Data
Tidak Terkumpul
Contoh berikut
menunjukkan pengiraan min, median dan mod bagi data berikut.
Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21,
13
a. Min adalah purata
= (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) ÷ 9 = 15
b. Median adalah nilai ditengah-tengah.
Data perlu disusun dalam
susunan menaik atau menurun terlebih dahulu.
13, 13, 13, 13, 14, 14,
16, 18, 21
Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di
tengah-tengah adalah nilai ke (9+1) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 (nilai kelima).
13, 13, 13, 13,
14, 14, 16, 18, 21, maka median adalah 14.
C
c. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi.
Dalam senarai ini mod adalah 13.
|
Bagi dua set data berikut, cuba anda
kirakan nilai-nilai kecenderungan memusat nya.
Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7 |
Bandingkan nilai-nilai yang telah anda
kira dengan yang berikut.
|
Ukuran
|
Set
A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8
|
Set
B : 2, 3, 3, 4, 6, 7
|
|
Min
Untuk mengira min, kita perlu jumlahkan semua data dan bahagi dengan bilangan data. |
Jumlahkan:
2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32
Terdapat 7 data, maka perlu dibahagi 7: 32
÷ 7 = 4.57...
Jadi min adalah 4.57
|
Jumlahkan:
2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25
Terdapat 6 data, maka perlu dibahagi 6: 25
÷ 6 = 4.166...
Jadi min adalah 4.17
|
|
Median
Untuk mengira median, kita perlu susunkan data secara menaik atau menurun. Nilai ditengah- tengah adalah median. Jika terdapat dua nilai ditengah, maka puratanya adalah median. |
Susunkan secara menaik:
2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8
Nombor ditengah ditandakan dalam kurungan adalah 5.
maka median adalah 5
|
Susunkan secara menaik:
2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7
Nampaknya terdapat dua nilai ditengah dan puratanya adalah
median.
(3 + 4) ÷ 2 = 3.5
maka median adalah 3.5
|
|
Mod
Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Mod boleh jadi lebih dari satu nilai samada dwimod atau multimod mengikut nilai pada data. |
Data :
2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8
Nilai yang kerap pada data adalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah
nilai mod.
maka mod adalah 2 dan 5
(dwimod)
|
Data :
2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7
hanya nilai 3 sahaja yang kerap berbanding nilai lain.
maka mod adalah 3
(unimod)
|
|
Apakah yang anda faham bagi situasi berikut.
Min bagi matapelajaran matematik
kelas 5 Cempaka adalah 85 dan kelas 5 Mawar adalah 70 pada Ujian semester
satu.
|
Mencari
Nilai Min, Mod dan Median Data Terkumpul
Bagi data
terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat, seperti min, mod, median boleh
dilakukan menggunakan rumus.
Anda
digalakkan secara berkumpulan membuat pembelajaran kendiri mengenai ukuran
kecenderungan memusat bagi data terkumpul. Dilampirkan bersama sedikit panduan
untuk anda.
a. Min
Min adalah
purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya boleh menggunakan
rumus berikut.
b. Median
Nilai
median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengah
apabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul,
pengiraan median agak rumit dan boleh menggunakan rumus berikut:
di mana
L = had bawah selang kelas median
cfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas
tersebut,
tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas
median
fmed
= kekerapan median
W
= keluasan selang kelas median (had atas kelas
– had
bawah kelas)
N
= jumlah bilangan kekerapan
c. Mod
Kelas mod
adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi.
ii. Ukuran Serakan
Ukuran serakan
menerangkan sebaran atau taburan sesuatu set data. Menggunakan ukuran serakan bersama-sama
ukuran kecenderungan memusat dapat memperihalkan
perwakilan data dengan lebih lengkap.
Rajah 5.5 menunjukkan tiga taburan dengan min sampel yang sama tetapi serakan
berbeza.
|
|
a. Julat
Julat adalah
perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Walaupun ia hanya nilai nombor tunggal tetapi
merupakan ukuran serakan kasar yang dapat menerangkan taburan sesuatu
data.
Julat = Nilai terbesar – Nilai terkecil
b. Varian
Varian ialah
purata jumlah kuasa dua sisihan antara min dan set nombor. Populasi varian ditandakan dengan huruf
Greek, s2 dan rumusnya ialah,
Menggunakan set nombor seperti
berikut, kita boleh mengira variannya.
|
X
|
X - m
|
( X - m
)2
|
|
5
|
-8
|
64
|
|
9
|
-4
|
16
|
|
16
|
+3
|
9
|
|
17
|
+4
|
16
|
|
18
|
+5
|
25
|
|
SX = 65
|
S(X - m) =
0
|
S(X - m)2
= 130
|
Varian
= 
c. Sisihan
Piawai
Sisihan
piawai ialah punca kuasa dua varian.
Sisihan piawai populasi ditandakan sebagai s, dan dikira sebagaimana berikut.
Berdasarkan
kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah
Ukuran Serakan Data Terkumpul
i. Sisihan Piawai bagi Populasi dan Sampel
Bagi data
terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikira menggunakan
rumus seperti dalam contoh berikut.
Varian
bagi sampel ditandakan sebagai s2
dan sisihan piawai ialah s. Pengiraan varian dan sisihan piawai bagi sampel
berbeza sedikit daripada pengiraan varian dan sisihan piawai untuk populasi. Tujuan utama pengiraan varian dan sisihan
piawai untuk sampel adalah untuk menganggar varian dan sisihan piawai untuk
populasi. Menggunakan (n – 1) sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding N untuk populasi, menghasilkan
penganggaran yang lebih baik untuk nilai populasi.
Varian untuk
sampel:
Sisihan piawai
untuk sampel:
dan,
Varian untuk
populasi:
Sisihan piawai
untuk populasi:
di mana,
f
= kekerapan
M
= titik tengah kelas
N
= Sf atau
jumlah kekerapan populasi
m = min kumpulan bagi populasi.
|
Apa yang anda faham bagi situasi
berikut .
Markah matematik kelas Cempaka
berjulat 40 manakala kelas Mawar berjulat 60.
|
|
Berdasarkan min, mod dan median seperti
yang terdapat pada serakan data dalam
rajah-rajah berikut, bincangkan
i) sifat-sifat
data, dan
ii) berikan
contoh- contoh yang berkaitan.
a)
Taburan normal
b)
Pencong positif (positively skewed)
c)
Pencong negatif (negatively skewed)
 |
|
Bincangkan
tentang serakan data berikut .
a) Lengkung berikut mempunyai
serakan yang berbeza tetapi
min yang sama.
 
b) Lengkung
berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai
minnya berbeza.
  |
|||
|
|
|
|
Apakah
sifat-sifat yang ada pada taburan normal?
 |
5.3 MENEROKA PERISTIWA
BERKAITAN PELUANG
Meneroka peristiwa berkaitan peluang dapat memberikan idea
intuitif tentang kebarangkalian.
5.3.1 Kebarangkalian
Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas
meja dan dicatatkan kesudahannya. Adakah
nombor 0 ialah kesudahannya? Mungkin
jawapannya ialah barangkali atau kurang pasti atau mustahil.
Daripada kenyataan di atas unsur-unsur ketidakpastian
berlaku dan berlaku dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah penting untuk kita
memperoleh pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh mana sesuatu
kejadian itu mungkin berlaku.
Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang
kebarangkalian. Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan
peluang seperti perjudian, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya.
Beberapa terminologi yang berkaitan dengan kebarangkalian
seperti ujikaji, kesudahan yang mungkin,
ruang sampel dan peristiwa akan diberi tumpuan dalam modul ini.
5.3.2 Ujikaji dan
Kesudahan
Ujikaji ialah satu proses atau tindakan
yang dilakukan untuk melihat kepada hasil. Misalnya aktiviti melambung duit syiling,
kita akan memperhatikan kepada hasil yang berlaku.
Dalam ujikaji melambung duit syiling,
terdapat dua keputusan yang mungkin terjadi iaitu muka angka dan muka gambar
dan setiap keputusan ini dikenali sebagai kesudahan. Dengan kata lain kesudahan
bagi suatu ujikaji ialah keputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji.
5.3.3 Ruang Sampel
Ruang sampel
ialah set semua kesudahan yang mungkin
bagi suatu ujikaji. Ruang sampel diwakili oleh S atau ξ dan boleh ditulis dengan menggunakan tata tanda set. Misalnya
ruang sampel bagi ujikaji melambung sekeping duit syiling mempunyai 2 titik
sampel. Semua kesudahan yang mungkin ialah gambar (g) dan angka (a), S = { g, a }. Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji
dadu iaitu semua kesudahan yang mungkin 1, 2, 3, 4, 5, 6 iaitu S
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Dalam suatu
ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin untuk mendapatkan
ruang sampel secara aktiviti dan penaakulan.
Contoh
Sebuah
beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji guli
dikeluarkan secara rawak daripada beg itu.
Kita
boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji mengambil sebiji
guli daripada aktiviti. Sebaliknya
kita boleh juga menentukan kesudahan yang mungkin secara penaakulan iaitu kita menganalisis ujikaji atau situasi berkenaan
dan mempertimbangkan secara teliti semua kesudahan yang mungkin berlaku. Setiap
kali guli diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau mungkin dipilih.
Maka semua kesudahan yang mungkin ialah
{ putih, biru, hijau}.
Begitu
juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara penaakulan,
Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh perlawanan tersebut iaitu menang
atau seri atau kalah. Maka kesudahan yang mungkin ialah { menang, seri, kalah
}.
Terdapat dua
kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan
(a) Jadual
(b) Gambar rajah pokok
(a) Jadual
Contoh
2 biji dadu dilambung
serentak, maka ruang sampelnya adalah seperti
berikut.
|
Dadu 2
Dadu 1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
(1,
1)
|
(1,
2)
|
(1,
3)
|
(1,
4)
|
(1,
5)
|
(1,
6)
|
|
2
|
(2,
1)
|
(2,
2)
|
(2,
3)
|
(2,
4)
|
(2,
5)
|
(2,
6)
|
|
3
|
(3,
1)
|
(3,
2)
|
(3,
3)
|
(3,
4)
|
(3,
5)
|
(3,
6)
|
|
4
|
(4,
1)
|
(4,
2)
|
(4,
3)
|
(4,
4)
|
(4,
5)
|
(4,
6)
|
|
5
|
(5,
1)
|
(5,
2)
|
(5,
3)
|
(5,
4)
|
(5,
5)
|
(5,
6)
|
|
6
|
(6,
1)
|
(6,
2)
|
(6,
3)
|
(6,
4)
|
(6,
5)
|
(6,
6)
|
S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5),
(3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5),
(5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
(b) Gambar rajah pokok
Gambar rajah pokok biasanya digunakan
untuk membantu menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji
yang melibatkan pemilihan secara berturut-turut.
Contoh
Dalam suatu permainan tertentu,
seseorang pemain perlu memilih secara rawak dua keping kad dari sebuah kotak
yang mengandungi dua keping kad yang masing-masing berlabel a dan b.
Setelah kad pertama dipilih, kad
tersebut perlu dimasukkan semula ke dalam kotak sebelum kad kedua dipilih.
a) Senaraikan semua kesudahan yang
mungkin.
b)
Tuliskan
ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.
Pilihan 1 Pilihan
2 Kesudahan
a (a,a)
a
b (a,b)
a (b,a)
b
b (b,b)
S
= { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) }
5.3.4 Peristiwa
Menurut bahasa
peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang
menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam
sejarah negara kita.
Dalam
matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang memenuhi
syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah subset bagi ruang sampel.
Contoh
Apabila sebiji
dadu dilambung, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jika A : Peristiwa mendapat nombor genap
Jika B : Peristiwa mendapat nombor perdana
Jika C : Peristiwa mendapat nombor ganjil
Maka
A
= { 2, 4, 6}, B = { 2, 3, 5 }, C = {1, 3, 5 }
|
Cuba dapatkan jawapan bagi yang berikut.
Lima
keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke dalam sebuah
kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak daripada kotak itu.
Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi setiap syarat berikut.
(a) Sekeping kad berhutruf vokal dipilih
(b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih
Sesuatu
peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika 
dan
dan
A
≠ Φ. Jika A = Φ, maka peristiwa A
adalah tidak mungkin berlaku.
Contoh
Satu nombor
dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan sama ada
setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel atau
tidak.
a)
A : Peristiwa mendapat satu nombor genap,
b)
B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34.
c) C
: Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit-
digitnya adalah lebih besar daripada
6.
Penyelesaian
S
= {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}
a)
A = {12, 22, 32} ,
Maka,
peristiwa A adalah mungkin.
b)
B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}, B =
S
Maka,
peristiwa B adalah mungkin.
c)
C = { } = Φ
Maka,
peristiwa C adalah tidak mungkin.
5.3.5 Kebarangkalian
Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur
dalam peristiwa A kepada bilangan
unsur dalam ruang sampel, S
P( A
) = 
n
( A )
= bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi
peristiwa A
n
( S )
= bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan
Kebarangkalian
mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu
0
≤
P(A) ≤ 1
P
(A) = 0, bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau
mustahil berlaku.
P
(A) = 1, bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku.
Contoh
Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor
perdana. Cari kebarangkalian A.
S
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, n( S ) = 6
A
= { 2, 3, 5 }, n( A ) = 3
P(
A ) = 
= 
= 
Kebarangkalian tidak
dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak.
Pada amnya, bilangan
kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A
= (Bilangan cubaan) × P(A)
Contoh
Dua keping duit syiling dilambung
sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan kali untuk mendapat dua gambar.
Bilangan kali untuk mendapat dua
gambar = 
x 200
x 200
=
50
5.3.6 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap
Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S
terdiri daripada semua kesudahan S
yang bukan kesudahan A. Peristiwa
pelengkap bagi peristiwa A biasanya ditandakan
sebagai A¢.
Jika
A ialah sebarang peristiwa bagi ruang
sampel S dan A¢ ialah peristiwa pelengkapnya, iaitu kebarangkalian
bagi peristiwa A tidak akan berlaku
P( A¢) = 1 – P ( A
)
Contoh
Satu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan “NKRA”.
Jika V mewakili peristiwa mendapatkan
vokal, nyatakan pelengkap V¢
S
= { N, K, R, A }
V
= { A }
V¢ = { N, K, R }
5.3.7 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan
daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.
Peristiwa
bergabung “A atau B” dan “A
dan B” masing-masing dihasilkan
daripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu, kita boleh
menyenaraikan semua kesudahan bagi
a) Peristiwa “A atau B” sebagai unsur set A
B
B
b) Peristiwa “A dan B” sebagai unsur set A
∩ B.
Contoh
Sekeping
duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua kesudahan yang
mungkin bagi peristiwa
a)
Mendapat
angka pada lambungan pertama atau kedua.
b)
Mendapat
angka pada lambungan pertama dan kedua.
S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g) }
A : Peristiwa mendapat angka pada
lambungan pertama
A = { (a,a), (a,g) }
B : Peristiwa mendapat angka pada
lambungan kedua
B = { (a,a), (g,a) }
Peristiwa
mendapat angka pada lambungan pertama
atau kedua ialah peristiwa “A
atau B”.
Peristiwa “A atau B” = A
B
B
=
{(a, a) , (a, g) , (g, a)}
Peristiwa mendapat angka
pada lambungan pertama dan kedua
ialah peristiwa “A dan B”.
Peristiwa “A dan B” = A
∩ B
= {(a, a)}
Jika kita dapat menyenaraikan set kesudahan bagi
peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B”, maka kita boleh
mengira kebarangkalian dengan rumus berikut.
P(A atau B) = P(A 
B) = 
, dan
B) = , dan
P(A dan B) = P(A
È B)
= 
.
.
|
||||
|
||||
|
|
Satu
pemerhatian di pintu pagar sekolah
telah dilakukan untuk mencatat bilangan penumpang setiap kereta yang masuk ke
kawasan sekolah.
Berikut
adalah histogram yang dibina hasil dari pemerhatian tersebut.
  
Bincangkan
perkara berikut.
|
||
|
Perwakilan
data berikut telah dipetik daripada beberapa penerbitan.
Bincangkan
apakah kesilapan atau kekeliruan yang
terdapat dalam perwakilan data tersebut.
  |
|
Chua Yan Piaw (2006). Kaedah
Dan Statistik Penyelidikan. The McGraw-Hill companies, Malalaysia.
Hopkins, K.D.
(1998). Educational and Psycological Measurement and Evaluation. (8 th.
Ed). Boston: Allyn and Bacon.
Jerry Howett (2000). Number
power ( a real world approach toMaths). Contemporary Books. USA
Mohd Majid Konting
(2000). Kaedah Penyelidikan Pendidikan. Kuala Lumpur,
Noll, V.H. &
Scannel, D.P. (1992). Introductions to Educational Measurement.
Boston: Houghton Mifflin Company.
Popham, W.J.
(2000). Modern Educational Measurement, Practical Guidelines for
Educational Leaders. (3rd. Ed). Boston: Allyn and Bacon.
Siti Rahayah
Ariffin (2003). Teori, Konsep dan
Amalan Dalam Pengukuran dan Penilaian. Penerbitan Pusat Pembangunan
Akademik, Bangi, Universiti Kebangsaan Malaysia.
Yap Yee Khiong, Wan
Chwee Seng, Ismail Abu Bakar (1985). Pengukuran Dan Penilaian dalam
Pendidikan. Kuala Lumpur, Heinemann Asia. Percetakan Dewan Bahasa Dan
Pusaka.
|
No comments:
Post a Comment