TAJUK 1

PENYELESAIAN MASALAH

§  SINOPSIS

Tajuk ini merangkumi pendekatan heuristik (bukan mekanikal), memahami masalah, membincangkan alat atau strategi penyelesaian yang sesuai, menilai kewajaran penyelesaian untuk analisis lanjutan dan contoh-contoh dalam kehidupan seharian. Penyelesaian masalah merupakan salah satu fokus utama dalam kurikulum matematik kini. Menguasai kemahiran dalam penyelesaian masalah adalah penting bagi  seorang individu kerana ia merupakan proses dimana individu tersebut menggunakan pengetahuan, kemahiran dan pemahaman sedia ada untuk menyelesaikan masalah baru.

§  HASIL PEMBELAJARAN

• Mendefinisikan pengertian Penyelesaian Masalah
• Mendefinisikan pengertian heuristik
• Menyenaraikan empat langkah model penyelesaian masalah Polya
• Membimbing pelajar untuk mengenalpasti masalah.
• Menggunakan cara bukan rutin untuk menyelesaikan masalah.
• Mengembangkan pendekatan heuristik dalam pernyataan dan penyelesaian masalah.
• Membincangkan pelbagai strategi dan cara untuk menyelesaikan masalah.
• Mengembangkan pemahaman tentang penilaian dan kewajaran jawapan.
• Mengaplikasikan penyelesaian masalah dalam situasi sebenar.

                                                                                   

§  KERANGKA TAJUK

 

1.1       Apakah Penyelesaian Masalah

Penyelesaian masalah mempunyai peranan penting di dalam bilik darjah.Ia boleh membantu pelajar mengembangkan kefahaman konsep matematik dan membolehkan pelajar untuk mengalami proses pengetahuan matematik yang telah dibina sebelum ini.

“ Solving problems is a practical art, like swimming, or skiing or playing the piano: you can learn it only by imitation and practice…if you wish to learn swimming you have to go into the water, and if you wish to become a problem solver you have to solve the problems. (Polya, 1962, p.v)

Perkataan "masalah" mempunyai makna tertentu dalam matematik. Masalah merujuk kepada kenyataan atau situasi kehidupan seharian yang memerlukan penyelesaian yang mana jalan penyelesaiannya tidak nyata atau  tidak ketara. Anda mungkin perlu menggunakan pengetahuan sedia ada untuk mendapatkan jawapan. Dengan kata lain, penyelesaian masalah adalah (a) mencari penyelesaian masalah yang tiada penyelesaian semerta , atau (b) mencari penyelesaian masalah yang sukar diselesaikan atau (c)  mengatasi  halangan dalam menyelesaikan masalah, atau (d ) mencapai matlamat yang diinginkan dengan menggunakan kaedah yang sesuai . Di sini, penyelesaian masalah merujuk kepada proses penyelesaian masalah.

Adalah penting untuk membezakan antara mengajar penyelesaian masalah dengan menggunakan penyelesaian masalah sebagai strategi pengajaran. Pengajaran penyelesaian masalah mengajar pelajar bagaimana menyelesaikan masalah. Ini adalah sesuatu yang sering dilakukan guru matematik dan sains. Sebaliknya, penyelesaian masalah sebagai strategi pengajaran adalah teknik pengajaran yang mana masalah digunakan sebagai cara untuk membantu pelajar memahami atau memperoleh kecelikan dalam meneroka matematik.

1.2       Model Penyelesaian Masalah Polya

Menurut Polya (1957), penyelesaian masalah terdiri daripada empat langkah. Langkah pertama ialah memahami masalah. Tanpa memahami masalah, pelajar tidak akan dapat mencari penyelesaian yang tepat. Setelah pelajar memahami masalah, mereka merancang strategi penyelesaian. Langkah ketiga adalah melaksanakan strategi. Seorang penyelesai masalah yang baik akan menyemak semula penyelesaian kepada masalah tersebut.

Langkah 1:   Memahami masalah

Berikut adalah soalan yang boleh digunakan untuk membantu murid memahami masalah:

·         Adakah anda faham ayat tersebut?

·         Bolehkah anda menyatakan semula masalah tersebut dengan ayat anda sendiri?

·         Apakah yang anda cuba cari atau lakukan?

·         Apakah maklumat yang anda dapat daripada masalah tersebut?

·         Apakah yang tidak diketahui?

·         Apakah maklumat yang tiada atau tidak diperlukan?

Langkah 2:   Merancang strategi

Soalan-soalan berikut boleh dijadikan panduan ketika merancang strategi penyelesaian masalah:

·         Apakah perhubungan antara data dengan perkara yang tidak diketahui?

·         Adakah masalah ini sama dengan masalah yang pernah anda selesaikan sebelum ini?

·         Apakah strategi yang boleh anda  gunakan?

Langkah 3:   Melaksanakan strategi.

Berikut adalah panduan yang boleh digunakan dalam melaksanakan strategi penyelesaian masalah:

·         Laksanakan strategi yang telah dipilih dan selesaikan masalah tersebut.

·         Semak setiap langkah yang telah dilaksanakan.

·         Pastikan langkah-langkah yang dipilih adalah tepat.

 Langkah 4:  Menyemak Semula

Langkah ini sering diabaikan dalam penyelesaian masalah. Sebagai guru matematik , anda perlu sentiasa mengingatkan pelajar menyemak jawapan mereka. Gunakan panduan berikut ketika melaksanakan langkah ini:

·         Baca semula soalan.

·         Adakah anda menjawab soalan yang dikemukakan?

·         Adakah jawapan anda betul?

·         Adalah jawapan anda munasabah?

Sebagai seorang guru matematik, anda perlu mengajar pelajar anda cara untuk menyelesaikan masalah matematik. Penggunaan model penyelesaian Polya merupakan langkah pertama menyelesaikan masalah masalah dengan baik. Pada Langkah 2 model ini, anda harus mengetahui pelbagai strategi penyelesaikan masalah. Pada bahagian seterusnya anda akan mengenalpasti beberapa strategi yang boleh digunakan.

1.3       Apa itu Pendekatan Heuristik?

Heuristik merangkumi semua bidang penyelesaian masalah baik masalah teknikal (rutin) dan bukan teknikal (bukan rutin). Ia merupakan satu set cadangan dan soalan yang harus difikirkan oleh pelajar untuk membantunya dalam penyelesaian masalah. Ianya bukan algoritma penyelesaian masalah tetapi satu cara berfikir untuk melihat dan menyelesaikan sesuatu masalah dari pelbagai aspek. Penyelesai masalah mengunakan heuristik untuk meneroka konsep matematik untuk menyelesaikan masalah. Heuristik juga boleh dikatakan sebagai proses memikirkan cara penyelesaian masalah yang kadang kala tidak disedari atau dikenali sebagai heuristik oleh penyelesai masalah tersebut.

Berikut adalah beberapa heuristik yang biasa digunakan dalam Matematik:

• Membentuk masalah yang setara
• Mengubahusuai masalah
• Memilih notasi berkesan
• Meneroka simetri
• Membahagikan kepada kes tertentu
• Menggunakan situasi yang bercanggah
• Menyemak persamaan
• Mempertimbangkan kes ekstrim
• Membuat Generalisasi

1.4       Apakah Masalah yang Baik?

Masalah yang baik mampu mencabar dan memupuk minat pelajar. Guru boleh memberikan masalah yang tidak terlalu sukar tetapi memerlukan cara penyelesaian yang pelbagai. Masalah yang baik bukan saja relevan dengan topik matematik yang diajar tetapi juga berkait rapat dengan pengalaman hidup pelajar itu sendiri. Pelajar akan lebih seronok dan bermotivasi sekiranya masalah itu bermakna dalam kehidupan seharian mereka.

1.4.1              Peryataan Masalah: Permulaan kepada Penyelesaian Masalah.

Kadangkala sesuatu pernyataan masalah itu sendiri merupakan penyebab utama pelajar mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah. Ini disebabkan pelajar keliru dengan perkataan ‘jika’, ‘sekiranya’, ‘katakan’, ‘anggapkan’. Ini disebabkan oleh kekangan dalam memori pelajar yang tidak dapat menerima terlalu banyak maklumat pada suatu masa. Untuk membantu mengurangkan masalah ini soalan berbentuk ‘sekiranya’ boleh diabaikan/dikurangkan dan lebih berfokus kepada apa yang diminta dalam masalah tersebut.

Penyataan masalah hanyalah sumber maklumat. Pelajar tidak perlu menghurai, menyusun, menyenarai, menyatakan semula, menafsirkan atau menganalisis  pernyataan masalah tersebut. Peringkat awal penyelesaian masalah hanya melibatkan proses mengenalpasti apa yang diminta oleh soalan. Inilah yang dimaksudkan sebagai memahami masalah.

1.4.2  Kaedah untuk Membantu Pelajar yang Lemah

Guru boleh mengurangkan kerisauan pelajar dalam penyelesaian masalah dengan menggalakkan komunikasi dan kerjasama di kalangan pelajar. Seterusnya, masalah yang diutarakan boleh dipermudahkan. Guru harus tahu bila ia perlu membantu murid dalam tugasannya tetapi perlu diingatkan bahawa matlamat akhirnya ialah murid boleh meneroka sendiri pelbagai strategi yang diperlukan untuk membantu dirinya menyelesaikan masalah tersebut

Seorang guru harus mengelak daripada memberikan jawapan kepada pelajar. Guru boleh meminta pelajar menerangkan jalan penyelesaian yang telah difikirkannya dan menanyakan soalan yang boleh membimbing kepada  pelajar menemui apa yang tidak dilihat sebelumnya atau menyarankan idea-idea baru untuk diteroka.

Sebagai seorang guru, anda boleh menggunakan soalan-soalan seperti berikut:

• "Apa yang akan terjadi sekiranya ....?"

• Jika anda memikirkan sedemikian ...?"

"Bagaimana anda mencari.?"

1.4.3               Masalah Rutin dan Bukan Rutin

Secara umum, masalah boleh diklasifikasikan sebagai masalah rutin dan masalah bukan rutin. Masalah rutin hanya memerlukan beberapa prosedur seperti operasi aritmetik untuk mendapatkan penyelesaian. Contoh masalah rutin adalah seperti berikut:

 "Berapa luaskah tempat letak kereta yang berukuran 100 m kali 100 m?"

Sebaliknya, jika situasi masalah itu tidak  boleh diselesaikan mengikut kaedah pengiraan biasa maka ia dikenali sebagai masalah bukan rutin. Dalam situasi seperti itu, pelajar  meneroka cara penyelesaian yang lebih mendalam  untuk menyelesaikan masalah tersebut. Contoh masalah bukan rutin adalah seperti berikut:

 "Anggarkan bilangan rambut yang ada di kepala anda?"

1.5       Strategi Penyelesaian Masalah

Strategi umum merujuk kepada prosedur yang akan membantu anda untuk memilih pengetahuan dan kemahiran yang digunakan di semua langkah penyelesaian masalah. Strategi yang dipilih harus fleksibel agar dapat digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah. Berikut adalah beberapa strategi yang boleh digunakan.

Strategi 1 : Teka dan Uji

Strategi teka dan uji merupakan strategi penyelesaian masalah yang paling asas. Strategi ini menggalakkan kita membuat tekaan dan menguji samada jawapan kita betul atau salah. Proses ini diulang sehingga jawapan yang betul ditemui. Langkah-langkah dalam strategi ini adalah seperti berikut:

• Teka jawapan
• Semak jawapan yang diteka. Adakah ia penyelesaian kepada masalah tersebut?
• Gunakan maklumat yang disemak untuk meneka jawapan lain.
• Ulang langkah di atas sehingga anda mendapat jawapan yang betul.

Contoh 1:

	s	u	n
+	f	u	n
s	w	i	m

sun dan fun mewakili dua nombor tiga digit dan swim adalah hasiltambah empat digit bagi kedua nombor tersebut. Dengan menggunakan digit 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 sebagai mewakili satu abjad di atas, cari nilai bagi setiap abjad.

Penyelesaian:

Langkah 1 : Memahami masalah

Setiap abjad dalam sun, fun dan swim hendaklah digantikan dengan digit 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 untuk mendapatkan jumlah yang tepat. Dua digit terakhir sun dan fun adalah sama.

Langkah 2: Merancang penyelesaian

Gunakan strategi teka dan uji. Apabila abjad n digantikan dengan salah salah daripada digit maka, n + n mesti m atau 10 + m.

Memandangkan 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6 dan 6 + 6 = 12, terdapat 3 nilai yang mungkin bagi n iaitu 1, 3 atau 6.

Langkah 3: Melaksanakan penyelesaian

Jika n = 1, maka n + n = 1 + 1 = 2. Oleh itu, m = 2

Jika n = 3, maka n + n = 3 + 3 = 6. Oleh itu, m = 6

Jika n = 6, maka n + n = 6 + 6 = 12. Oleh itu, 10 + m = 12, maka m = 2.

Perhatikan bahawa sun dan fun adalah nombor 3 digit manakala swim ialah nombor empat digit. Oleh itu, apabila s dan f ditambah nilainya sudah menjadi ribu. Maka, nilai untuk s dalam swim adalah 1. Ini memberikan hanya dua pilihan untuk n iaitu 3 atau 6. Memandangkan s + f adalah nombor dua digit dan s = 1, maka f = 9. Terdapat dua kemungkinan:

(a)		1	u	3	(b)			1	u	6
	+	9	u	3			+	9	u	6
	1	w	i	6			1	w	i	2

Dalam (a), jika u = 0, 2 atau 7, tiada nilai yang mungkin bagi i dalam digit yang tinggal.

Dalam (b), jika u = 3, maka u + u ditambah dengan digit puluh dari 6 + 6 memberikan i = 7. Ini bermakna w = 0. Oleh itu, jawapannya ialah s = 1, n = 6, f = 9, I = 7 dan       w = 0.

Langkah 4: Menyemak Semula

Semak semula jawapan dengan menggantikan nilai yang diperolehi tadi untuk memastikan bahawa jawapan itu betul.

	s	u	n				1	3	6
+	f	u	n			+	9	3	6
s	w	i	m			1	0	7	2

Dalam rajah di bawah, nombor di dalam segiempat adalah

hasiltambah nombor di dalam bulatan di sebelah kiri dan kanannya.

Cari nombor di dalam setiap bulatan dengan menggunakan strategi

teka dan uji.

                                                               

                                                          41                 49                                                                                

    36

Strategi 2: Mengurus Maklumat dalam Carta, Jadual atau Graf.

Strategi ini membantu mempamerkan maklumat dalam bentuk carta, jadual dan graf supaya ia boleh dibaca dan ditafsirkan dengan cepat dan mudah.

Graf boleh digunakan untuk menunjukkan perhubungan antara dua atau lebih set kumpulan fakta atau maklumat. Maklumat ini boleh dipamerkan sebagai piktograf, carta bar atau graf garis.

Anda perlu mahir membaca carta, jadual ataupun graf untuk mendapatkan maklumat dan kemudian belajar bagaimana membina carta tersebut untuk melaporkan maklumat. Membaca dan membina graf adalah kemahiran yang perlu dikuasai sebelum mentafsir, menganalisis dan menggunakan maklumat. Strategi ini membolehkan anda melihat hubungan dan pola maklumat.

Contoh 2:

Keluasan suatu segiempat tepat ialah 120 cm². Panjang dan lebarnya adalah nombor bulat. Apakah dua nilai yang mungkin bagi panjang dan lebar nya? Apakah nilai yang akan memberikan perimeter yang terkecil?

Penyelesaian:

Langkah 1: Memahami masalah

Maklumat yang diberikan, Luas = 120 cm². Luas = panjang x lebar.

Langkah 2: Merancang penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah, cuba cari semua nilai panjang dan lebar yang mana hasildarabnya ialah 120.

Langkah 3: Melaksanakan penyelesaian

Bina satu jadual panjang dan lebar seperti berikut:

Lebar	2	3	4	5	6	8	10
Panjang	60	40	30	24	20	15	12
Perimeter	124	86	68	58	52	46	44

Dari jadual di atas, perimeter yang terkecil ialah 44 cm.

Langkah 4: Menyemak semula

Semak jawapan anda untuk memastikan bahawa jawapan anda betul

Panjang = 12, Lebar = 10.

Luas   = panjang x lebar = 12 x 10

Perimeter = 2 (12 + 10) = 4

Berapakah cara untuk mendapatkan jawapan 21 daripada nombor 1, 4, 8 dan 16.

Strategi 3: Mencari Pola

Apabila anda menggunakan strategi ini, anda dikehendaki mencari pola dalam data atau maklumat yang diberikan. Seterusnya, buat ramalan dan generalisasi berdasarkan analisis anda. Suatu pola ialah pengulangan sistematik yang tetap. Ia mungkin dalam bentuk angka, visual atau perlakuan. Dengan mengenalpasti pola, anda boleh meramalkan apa akan berlaku seterusnya. Mencari pola ialah satu strategi yang penting dalam penyelesaian masalah , dan boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah. Kadang-kadang anda boleh menyelesaikan masalah hanya dengan mengecam pola, tetapi selalunya anda perlu melanjutkan pola untuk mencari penyelesaian. Selalunya membina jadual  dari maklumat akan mendedahkan suatu pola, dan strategi membina jadual kerap digunakan bersama dengan strategi ini.

Contoh 3:

Cari dua nombor seterusnya dalam siri berikut:

7

10

14

19

25

Penyelesaian:

Perhatikan nombor dalam siri berikut. Apakah hubungan di antara dua nombor berturutan. Cari pola untuk mencari nombor-nombor  yang seterusnya.

7

10

14

19

25

32

40

+3        +4

Oleh itu, dua nombor yang seterusnya ialah 32 dan 40.

+5        +6         +7      +8

Strategi 4: Memudahkan Masalah

Strategi memudahkan masalah selalunya digunakan dengan strategi lain. Memudahkan masalah ialah satu cara memudahkan proses penyelesaian masalah. Menulis semula masalah, menggunakan nombor-nombor yang lebih kecil atau menukarkan masalah kepada bentuk yang lebih bermakna akan membantu menentukan penyelesaian sesuatu masalah. Kebanyakan masalah boleh dipecahkan kepada masalah yang lebih kecil dan apabila digabungkan kemudian akan memberikan penyelesaian. Ada masalah yang boleh diselesaikan dengan bekerja secara songsang. Bagi masalah yang tidak boleh diselesaikan dalam satu langkah, ianya boleh dipecahkan kepada beberapa kes dan diselesaikan secara berasingan.

Contoh 4:

Berapakah segiempat tempat yang terdapat dalam grid 7 kali 7.

Penyelesaian:

Anda boleh menyelesaikan masalah ini dengan mengira bilangan segiempat. Walau bagaimana pun proses pengiraan ini mengambil masa yang lama. Segiempat tersebut boleh dipecahkan kepada beberapa segiempat dan dengan mencari pola akan membantu menyelesaikan masalah dengan pantas.

1 x 1 1 segiempat 2 x 2 3 x 3 4 x 4 1 + 4 1 + 4 + 9 1 + 4 + 9 + 16 5 segiempat 14 segiempat 30 segiempat

Sekiranya saiz grid itu adalah n x n maka jumlah segiempat sama diperolehi dengan menambah nombor yang dikuasa dua dari 1² hingga n².

Oleh itu, grid 7 x 7 terdiri daripada  1+4+9+16+25+36+49 = 140 segiempat sama.

 

Menara Hanoi

Satu daripada tiga menara di atas mempunyai 10 cakera mengikut peningkatan saiz Berapakah kiraan yang paling minima untuk memindahkan kesemua 10 cakera dari satu menara ke menara yang lain yang mana hanya satu cakera boleh dipindahkan pada satu masa dan cakera yang besar tidak boleh diletakkan di atas cakera yang kecil.

Strategi 5: Simulasi/ melakonkan

Kadangkala  sesuatu masalah itu sukar digambarkan atau dikenalpasti prosedur yang sesuai untuk menyelesaikannya. Melakonkan situasi masalah itu mungkin boleh membantu menyelesaikan masalah tersebut. Anda boleh menggunakan orang atau objek sebenar seperti yang diceritakan dalam masalah tersebut atau mewakilinya dengan objek lain. Melakonkan semula masalah akan membantu menyelesaikan masalah tersebut atau pun membantunya menjumpai strategi lain yang boleh menentukan penyelesaian masalah tersebut. Strategi ini sangat efektif untuk kanak-kanak.

Contoh 5:

Ada 5 orang dalam sebuah bilik dan setiap orang akan berjabat tangan dengan setiap orang sekali. Berapakah bilangan ‘jabat tangan’ yang dibuat dalam bilik tersebut.?

Dengan bantuan empat orang sahabat, lakonkan situasi masalah ini. Dua orang akan berjabat tangan, ini akan dikira sebagai jabat tangan pertama. Kemudian tiga orang akan berjabat tangan sesama mereka. Perhatikan berapa bilangan jabat tangan yang dibuat apabila 3 orang melakukannya. Seterusnya, ulang proses yang sama untuk empat orang. Catatkan bilangan jabat tangan yang berlaku.

Setelah melakonkan semula situasi masalah tersebut didapati berlaku 1 jabat tangan untuk 2 orang, 3 jabat tangan untuk 3 orang dan 6 jabat tangan untuk 4 orang. Sekiranya anda orang yang kelima, anda akan berjabat  tangan dengan setiap daripada 4 orang tadi. Maka, jumlah jabat tangan ialah 6 + 4 = 10.

Sebuah keluarga ingin menyeberang sebuah sungai dengan sampan. Keluarga tersebut terdiri dari ayah, ibu, anak lelaki dan anak perempuan. Sampan itu hanya boleh membawa seorang dewasa dan satu atau dua kanak-kanak pada satu masa. Dengan menggunakan strategi simulasi, cari bilangan minimum keluarga itu boleh menyeberang.

Sumber : Fisher, R. & Vince, A. (1998). Investigating maths

Book 1.Oxford : Blackwell Education.

Strategi 6: Melukis Gambarajah

Melakar dan melukis gambarajah adalah satu strategi yang boleh membantu dalam penyelesaian masalah. Pelajar dapat menterjemahkan masalah dalam bentuk matematik dengan melukis rajah atau gambar yang sesuai kerana gambarajah menjadi perantara antara konkrit dan abstrak. Gambarajah yang dilukis haruslah kemas, tepat dan mengikut skala.

Contoh 6:

Yuran keahlian kelab bagi lelaki dan wanita adalah dalam nisbah 4:3. Sekumpulan 2 lelaki dan 5 wanita membayar sejumlah RM4600 sebagai yuran keahlian. Berapakah yuran keahlian untuk seorang lelaki?

Penyelesaian

Masalah ini boleh diselesaikan dengan menggunakan algebra. Walau bagaimana pun ianya juga mudah diselesaikan dengan menggunakan gambarajah.

2 lelaki                                                                       5 wanita

Lelaki = 8 bahagian                                     Perempuan = 15 bahagian

Jumlah kesemua bahagian = 8 + 15 = 23

Jumlah yuran keahlian = RM 4600

Sekiranya sebuah kek berukuran lapan sentimeter persegi boleh dibahagikan kepada empat orang, berapa banyakkah kek berukuran 12 sentimeter persegi yang diperlukan untuk dibahagikan kepada 18 orang? Selesaikan dengan menggunakan strategi melukis gambarajah.

Oleh itu, yuran keahlian seorang lelaki = RM 200 X 4 = RM 800

Oleh, itu, setiap bahagian =
 RM 4600 = RM 200

23

Strategi 7: Bekerja Secara Songsang

Bagi sesetengah masalah, adalah lebih mudah bekerja secara songsang, iaitu dengan menggunakan penyelesaian akhir untuk melihat bagaimanakah proses di awal penyelesaian tersebut untuk mendapatkan jawapannya. Contoh di bawah menunjukkan strategi iini.

Contoh 7:

Amira mengambil sekumpulan jubin berwarna dari sebuah kotak. Grace mengambil 13 jubin dari kumpulan jubin Amira. Ken mengambil separuh daripada jubin yang tinggal. Ada 11 jubin yang tinggal untuk Amira. Berapakah jumlah asal bilangan jubin yang diambil oleh Amira pada awalnya?

Penyelesaian:

Masalah ini boleh diselesaikan dengan bermula daripada bilangan jubin yang tinggal dan bekerja secara songsang unuk mendapatkan jawapannya. Oleh itu, semua jubin yang telah diambil daripada Amira perlulah di’ambil’ balik untuk mendapatkan bilangan Jubin yang asal.

Bilangan jubin yang tinggal	=	11
Tambah jubin yang diambil oleh Ken		=	11 + 11	= 22
Tambah jubin yang diambil oleh Grace		=	22 + 13	= 35

Oleh itu, pada awalnya Amira ada 35 jubin

Pak Tam bertanding dalam satu rancangan permainan (game show) tetapi malangnya asyik tidak berjaya. Pada mulanya ia meletakkan sejumlah wang untuk soalan yang pertama tetapi tidak berjaya. Seterusnya ia masih tidak berjaya dalam soalan kedua dan kehilangan separuh daripada wangnya. Untuk soalan ketiga ia kehilangan RM 300 tetapi kehilangan separuh daripada wangnya untuk soalan selepas itu. Akhirnya dia dapat menjawab dengan betul dan memenangi RM 200. Di akhir pertandingan dia memiliki masih RM 1200. Berapakah wang yang dimilikinya sebelum soalan pertama ditanya?

1.6       Penilaian dan Kewajaran Jawapan

Perkara yang penting dalam penyelesaian masalah ialah menilai soalan yang dikemukakan dan mencari jalan bagaimana menyelesaian masalah tersebut. Guru digalakkan mencungkil jawapan daripada pelajar dengan menjalankan sesi sumbangsaran dan perbincangan dalam pembelajaran koperatif. Sesi soal jawab boleh membantu dalam mendapatkan jawapan yang diperlukan. Inkuiri, penyelidikan, penerokaan dan menjalankan eksperimen adalah teknik-teknik yang melibatkan pelajar dan ini memberikan mereka peluang untuk memberikan idea, pandangan dan cara penyelesaian masalah yang diteroka sendiri. Secara tidak langsung pelajar juga membina kemahiran menyusun, mengkategori, membanding beza dan menganalisis masalah yang diberikan kepadanya. Rujuk kepada situasi di bawah:

“Benarkah ada 204 segiempat di atas papan catur?”

Baca masalah dengan teliti, fikirkan strategi yang sesuai untuk menyelesaikan masalah tersebut dan selesaikan masalah. Seterusnya, semak jawapan anda dan pastikan jawapan anda tepat. Gunakan terma dan unit yang sama dalam jawapan anda.

                       

Soalan ini memerlukan anda berfikir. Fikirkan berapa banyakkah segiempat yang ada di atas papan catur. Adakah anda mengira 8 baris untuk 8 segiempat tersebut? Ini adalah 8 x 8 atau 64 segiempat. Bagaimana dengan segiempat yang mewalikili papan catur tersebut? Kini ada 65 segiempat.

Seperti ini,

			4 x 4

Dan seperti ini,

			7 x 7

Sekiranya anda hendak mencari semua segiempat yang ada, banyak masa yang diperlukan untuk mencarinya.

Menyelesaikan masalah adalah seperti melukis potret atau menulis cerita.

 

Sebelum melukis atau menulis anda perlu memikirkan mengenai apa yang anda mahu lukiskan atau ceritakan terlebih dahulu. Begitu juga dengan penyelesaian masalah. Anda perlu berfikir dengan mendalam ketika menyelesaikan sesuatu masalah.  

Membacanya dan benar-benar memahaminya

Dalam masalah papan catur, ada 204 segiempat sama. Anda perlu membaca masalah tersebut dengan teliti supaya benar-benar memahami maksudnya.

Mulakan dengan menulis atau melukis sesuatu

Walaupun anda tidak pasti jalan penyelesaian seterusnya, tuliskan apa yang anda tahu mengenai masalah tersebut dan apa yang anda perlu lakukan.

Lakukan perkara ini sekarang!

Mungkin anda telah menulis seperti ini:

APA YANG SAYA TAHU

                                                                                               

                                                                                                            64 segiempat kecil

                                                                                                                       

                                                                                                            Satu segiempat di luar                                                                                                                                                       

                                                                                                            2 x 2

Saiz (2 x 2, 3 x 3,

4 x 4 dsb)

APA YANG SAYA PERLU LAKUKAN

·         Mengira semua segiempat

·         Mengira segiempat pelbagai saiz.

·         Melengkapkan jadual berikut:

Saiz squares	1 by 1	2 by 2	3 by 3	4 by 4	5 by 5	6 by 6	7 by 7	8 by 8
Bil segi- empat sama	64	?	?	?	?	?	?	1

Langkah seterusnya adalah lebih jelas. Anda perlu mencari berapakah bilangan segiempat bersaiz 2 x 2.

Selesaikan masalah berikut dalam 30 minit.

Pak Mat menternak itik dan lembu.  Jumlah kepala bagi ternakannya ialah 9 dan jumlah kaki bagi ternakannya  ialah 26.  Berapakah bilangan itik dan lembu yang diternak oleh Pak Mat? Bagaimana pula jika sekiranya terdapat, ·         9 kepala dan 20 kaki ·         10 kepala dan 24 kaki ·         9 kepala dan 50 kaki ·         6 kepala dan 17 kaki ·         10 kepala dan 18 kaki Bagaimana sekiranya Pak Mat melihat sebilangan daripada ternakannya dan melihat 24 kaki (tidak termasuk kakinya), berapa banyakkah itik dan lembu yang dilihatnya? Tunjukkan kemungkinan semua jawapan. (Projek Matematik County Lane 1981, m.s 259)

1.6.1   Pelbagai Aspek Penyelesaian Masalah

Penyelesaian masalah boleh dilihat daripada tiga aspek yang berbeza bergantung kepada apa yang ditekankan:

• Mengajar untuk penyelesaian masalah
• Mengajar mengenai penyelesaian masalah
• Mengajar melalui penyelesian masalah

Aspek pertama memberikan pengalaman kepada pelajar menyelesaikan masalah bukan rutin. Pelajar kurang diberikan peluang untuk menyelesaikan masalah sebenar yang tiada cara yang jelas untuk menyelesaikannya. Pengalaman sebegini kurang didedahkan oleh guru dalam pengajaran konvensional.

Aspek kedua merujuk kepada strategi dan kemahiran penyelesaian masalah secara eksplisit. Ianya juga dikenali sebagai proses dalam penyelesaian masalah matematik.

Kedua-dua aspek yang dinyatakan di atas tidak boleh diajar secara berasingan. Untuk mengajar murid menyelesaikan masalah secara efektif di dalam bilik darjah, pelajar harus melalui pengalaman menyelesaikan masalah dan diberikan strategi dan kemahiran penyelesaian itu sendiri. Pelajar belajar melalui pengalaman menyelesaikan masalah dengan menstrukturkan proses penyelesaiannya dengan cara yang bermakna.

Aspek ketiga merujuk kepada pengajaran sesuatu topik dalam Matematik dengan menggunakan pendekatan penyelesaian masalah.

1.7  Masalah Kehidupan Sebenar

Masalah kehidupan sebenar merujuk kepada persoalan yang membolehkan pelajar memperoleh ilmu dan kefahaman mengenai apa yang berlaku dalam kehidupan seharian mereka. Seringkali ini disalahertikan sebagai soalan buku teks seperti “Jenny ada sembilan biji epal. Jika dia makan empat biji epal, berapakan yang tinggal?”

Contoh masalah kehidupan seharian adalah sepeti membuat soal selidik mengenai hobi atau rancangan televisyen yang digemari pelajar atau membandingkan hobi atau rancangan yang digemari antara pelajar lelaki dan perempuan.

Tugasan seperti ini boleh dijadikan masalah kehidupan seharian sekiranya pelajar diminta berfikir apakah yang boleh ditafsirkan daripada data yang diperolehi. Meneroka data dengan menggunakan pendekatan ‘penyiasatan’ seperti ini dianggap sebagai penting dalam mengajar tajuk berkaitan pengumpulan data dan kebarangkalian di sekolah.

Tugasan merancang dan membuat bajet untuk sesuatu program di sekolah juga melatih pelajar menyelesaikan masalah berkaitan dengan kehidupan seharian.

Untuk Sub-topik 1.4 hingga 1.6

 

1.Rujuk pada bahan bacaan dan baca Burwood State College, Beginning to Tackle Real Problem – 2^ndPilot Version: pp. 1 – 60 and Deakin University, Problem Solving and Mathematical Modelling – Study Guide: pp. 1 – 44, 73 – 95

2. Cari bahan bacaan tambahan mengenai sub topik di atas dari pelbagai sumber. Anda digalakkan melayari laman web yang berkaitan dengan tajuk Penyelesaian Masalah

3. Buat nota ringkas

Untuk Sub-topik 1.7 hingga 1.10

Rujuk pada bahan bacaan dan baca Excellence and Enjoyment: Teaching and Learning in Primary Years – Primary National Strategy: pp. 8 – 21. Heinemann. Words Problems: pp.5 – 48 dan Alfred S.Posamentier, Stephen Krulik (1998). Problem Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions: A Resource for the Mathematics Teacher.

Peringatan:  Simpan semua nota dan bahan bercetak termasuk jawapan di  

                      dalam portfolio anda.

David Coles and Tim Copeland (2002). Numeracy and Mathematics

Across the Primary Curriculum. London. David Fulton Publishers

Valsa Koshy and Jean Murray (2002). Unlocking numeracy. London. David Fulton Publishers.

http://library.thinkquest.org/25459/learning/problem/

http://www.indiana.edu/~reading/ieo/bibs/probele.html